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姓名	陳暉昇(Hui-Sheng Chen)  查詢紙本館藏	畢業系所	通訊工程學系
論文名稱	三維投影幾何上非退化二次式的LDPC碼 (LDPC Codes on Non-degenerated Quadratic Surface in 3-dimensional Projective Geometry)
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摘要(中)	LDPC(Low-Density Parity-Check)碼為下個世代的先進通訊標準所採用的錯誤更正碼，其優異的錯誤更正能力可以逼近Shannon的理論值，配合訊息傳遞(message passing, MP)演算法，可以快速得到傳送端所發出之訊息。大部分好的LDPC碼是利用電腦產生的，特別是碼長較長的LDPC碼。但由於不具有特殊的結構，故在編碼端的複雜度偏高。Kou, Lin, Fossorier [13]，基於有限幾何，首先提出系統化的方法建構LDPC碼。如此所建構之眾多類的LDPC碼具有良好的最小漢明距離的特性；且Tanner圖裡並不包含短迴圈。另外，在編碼部分也較為簡單，且可由線性暫存器在實現。基於上述所使用的建構方法，對於有限幾何附加其它的限制條件來建構其它的LDPC碼。考慮三維投影空間裡的非退化二次式，, 利用二次式所擁有的特殊性質，針對某些參數，嘗試利用數學的方式去證明。
摘要(英)	LDPC code used by the advanced communication standard of the next generation is an error control code. Its error correction ability may approach the Shannon’s theoretical value. With the MP algorithm, it can decode received samples in high speed from transmitter. Good LDPC codes that have been found are largely computer generated, especially long codes, and their encoding is very complex owing to the lack of structure. Kou, Lin, Fossorier [13] introduced the first algebraic and systematic construction of LDPC codes based on finite geometries. The large classes of finite-geometry LDPC codes have relatively good minimum distances, and their Tanner graphs do not contain short cycles. Consequently, their encoding is simple and can be implemented with linear shift registers. Based on the above construction method on finite geometries[13], we append more restrictions on finite geometries to construct LDPC codes using the non-degenerated quadratic surfaces on three-dimensional projective geometry. Owing some special properties on quadratic surfaces, some parameters of LDPC can be proven mathematically.
關鍵字(中)	★ 非退化二次式 ★ 投影幾何 ★ 錯誤更正碼	關鍵字(英)	★ quadratic ★ hyperbolic ★ LDPC ★ projective goemetry
論文目次	中文摘要 V Abstract VI 目錄 VIII 圖目錄 X 表目錄 XI 第一章 緒論 1 1.1 LDPC碼簡介 1 1.2 研究內容與論文設計動機 3 第二章 LDPC碼的簡介 4 2.1線性區塊碼(Linear Block Code) 4 2.1.1 線性區塊碼定義 4 2.1.2 生成矩陣與奇偶檢驗矩陣 5 2.1.3 漢明權重與漢明距離 9 2.2 LDPC碼 11 2.2.1 LDPC碼定義 11 2.2.2 LDPC碼之Tanner圖 11 2.2.3 LDPC碼的屬性 13 第三章 投影幾何空間上的非退化二次式 14 3.1 仿射空間(Affine Space)和投影空間(Projective Space) 14 3.1.1 定義與標準座標表示 14 3.1.2 裡點和線的個數 19 3.2 非退化二次式[10] 19 3.2.1 雙曲線二次式 20 3.2.2 橢圓二次式 21 第四章 非退化二次式上的LDPC碼 23 4.1 雙曲線二次式 上的LDPC碼 23 4.1.1 第一類LDPC碼的建構方法 23 4.1.2 第一類LDPC碼的數學性質 25 4.2橢圓二次式 上的LDPC碼 31 4.2.1 第二類LDPC碼的建構方法 31 4.2.2 第二類LDPC碼的數學性質 33 第五章 解碼演算法 43 5.1 Message Passing演算法[2] 43 5.1.1 事後機率域 43 5.1.2 LLR域 46 第六章 電腦模擬 49 第七章 總結 56 參考文獻 57
參考文獻	[1] C. E. Shannon, “A Mathematical Theory of Communication,” Bell Syst. Tech. J., pp. 379-423(Part 1); pp. 623-56(Part 2), July 1948. [2] R. G. Gallager, “Low-density parity-check codes,” IRE Trans. Inform. Theory, pp. 21-28, vol. 8, no. 1, Jan. 1962. [3] R. G. Gallager, “Low-Density Parity-Check Codes,” MIT Press, Cambridge, MA, 1963. [4] R. M. Tanner, “A recursive approach to low complexity codes,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 74, no. 2, pp. 533-547, Sept. 1981. [5] J. W. P. Hirschfield, “Finite Projective Space of Three Dimensions,” Oxford Clarendon Press, second edition, 1985. [6] D. J. C. MacKay and R. M. Neal, “Near Shannon limit performance of low density parity check codes,” IEE Electron. Lett., vol. 32, no. 18, pp. 1645-1646, Aug. 1996. [7] David Cox, John Little, Donal O’Shea, “ Ideals, Varieties, and Algorithms” Springer, second edition, 1996. [8] Barrett O’Neill, “Elementary Differential Geometry,” HARCOURT ACADEMIC Press, second edition, 1997. [9] Seymour Lipschutz, “Theory and Problems of Set theory and Related Topics,” McGraw-Hill Companies, international edition, 1997. [10] J. W. P. Hirschfield, “Projective Geometry over Finite Fields,” Oxford University Press, second edition, 1998. [11] S. Y. Chung, G. D. Forney, T. J. Richardson, and R. Urbanke, “On the design of low-density parity-check codes within 0.0045 dB of the Shannon limit,” IEEE Comm. Lett., vol. COMM-5, no. 2, pp. 58-60, Feb. 2001. [12] T. J. Richardson, M. Shokrollahi, and R. Urbanke, “Design of capacity-approaching irregular low-density parity-check codes,” IEEE Trans. Inform. Theory, pp. 619-637, Feb. 2001. [13] Yu Kou, Shu Lin, Marc P. C. Fossorier, “Low-density parity-check codes based on finite geometries：a rediscovery and new results,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 47, no. 7, pp. 2711-2736, Nov. 2001. [14] J. W. P. Hirschfield, “ Projective Geometries over Finite Fields,” Oxford University Press, 1979. [15] R. H. Morelos-Zaragoza, “ The Art of Error Correcting Codes,” Wiley, 2002. [16] John L. Fan ,“Constrained coding and soft iterative decoding,” Kluwer Academic Publishers, 2001. [17] 林銀議, “數位通訊原理 編碼與消息理論,” 五南, 2005.
指導教授	賀嘉律(Chia-Lu Ho)	審核日期	2007-7-4
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