薛丁格方程式上直立波解的分類。

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姓名

陳志和(Jhih-he Chen) 查詢紙本館藏

畢業系所

數學系

論文名稱

薛丁格方程式上直立波解的分類。
(On the radial solutions for standing wave solutions of Schr"{o}dinger equations)

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摘要(中)

研究目的：在薛丁格方程式中，對直立波型態解的分類。並從這樣的分類當中，了解直立波的解會有哪幾種不同的行為。

資料來源：

1、中央大學數學系圖書館期刊室。

2、清華大學數學系圖書館期刊室。

3、MathScinet電子期刊查詢系統。

4、Google搜尋引擎。

研究方法：

研究方法主要是用到以下四種數學工具：

1、比較定理可用來幫助排除O*及*S解的情形。

2、可以用來證明靠近原點，解具備開集合的性質

3、可以讓我們了解，O*這種解的震盪，本身必定有一個上界。

並且可以由這樣子的輔助函數，讓我們觀察到解在無窮遠處，具備有開集合的性質。

4、線性化方程，可以讓我們決定，將兩個開集合隔開的那條平滑曲線，起初從原點出來的行為是如何的。

研究結果：

我們可以得到，當$1p_c$時，解的分佈情形。但$frac{n+2}{n-2}leq pleq p_c$ 的情況下，還無法完全掌握$Gamm_1$這條曲線的行為。

摘要(英)

This paper is concerned with the structure of the set of positive radially symmetric solutions for the equation.
$Delta u-u+u^p=0$ on $R^n-{0}$ (1.1)
with $n>2$. Then any radial solution $u=u(r)=u(|x|)$ of the equation is shown to be classified into one of several types according to its behavior as $r
ightarrow 0$ or $r
ightarrowinfty$. Under the assumption that $1 We consider equation (1.1) because it came from the following nonlinear Schr""{o}dinger equation
$$iPhi_t=-DeltaPhi-|Phi|^{p-1}Phi$$ where $Phi:R imes R^n
ightarrow C$
. Looking for the standing wave solutions, that is
$Phi(t,x)=e^{it}u(x)$, one is let to the problem:
$$Delta u(x)-u(x)+|u(x)|^{p-1}u(x)=0$$ in $R^{n}-{0}$$(1.2)
Since we consider positive solution, (1.2) becomes (1.1).

關鍵字(中)

★ 直立波
★ 薛丁格方程
★ 能量函數
★ 比較定理
★ 線性化方程

關鍵字(英)

★ Schrodinger equations
★ Standing wave
★ Pohoza

論文目次

Contents
Abstract 1
1. Introduction 2
2. Nonexistence Results for equation (1.2) 3
3. Energy function 9
4. Openness 11
5. Proof of the main result 12
6. Reference 18

參考文獻

1.Jann-Long Chern, Eiji Yanagida, it Structure of the sets of regular and singular radial solutions for a semilinear elliptic equation
2.Boyan Sirakov, Standing waves solutions of the nonlinear Schr$ddot{o}$dinger equation in $R^{N}$}
3.H.Berestycki and P.L.Lions, Non-linear scalar field equations. 1, Existence of a ground state. Arch. Rational Mech. Anal82(1983),313-345.
4. Kevin Mcleod, Uniqueness of positive radial solutions of $Delta u+f(u)=0$ in $R^n$, 2. Ameri.Math.Soc.Vol 339, Number 2, October 1993.
5. R.Johnson, X.-B. Pan, Y.-F. Yi, it Singular Solutions Of the Elliptic Equation $Delta u-u+u^p=0$, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 166 (1994), 203--225
6. W.-M. Ni, J.Serrin, Nonexistence theorems for singular solutions of quasilinear partial differential equations, Comm. Pure Appl. Math., 39 (1986), pp379-399.
7. Yi Liu, Yi Li, Yinbin Deng, Separation property of solutions for a semilinear elliptic equation}
8. Man Kam Kwong, Uniqueness of Positive Solutions of $Delta u-u+u^p=0$ in $R^n$, Arch.Rational Mech.Anal. 105(1989),243-266
9. Charles V. Coffman, Uniqueness of Positive Radial Solution on an Annulus of the Dirichlet Problem for $Delta u-u+u^3=0$, Journal of Differential equation 128,379-386(1996)

指導教授

陳建隆(Jann-Long Chern)

審核日期

2007-7-12

推文