在二維空間上使用三角形元素的 p-version 有限元素法程式設計

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梁坤善(Kun-Shan Liang) 查詢紙本館藏

畢業系所

數學系

論文名稱

在二維空間上使用三角形元素的 p-version 有限元素法程式設計
(The design of two-dimensional p-version finite element method using triangular element by C++)

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摘要(中)

在本論文中，我們使用 C++ 程式語言設計一個二維空間上的 p-version 有限元素法程式，在此設計中，我們使用三角形元素計算以下偏微分方程的數值解
sum^{n}_{l=1} { - bigtriangledown cdot (A^{kl} bigtriangledown u_{l}) + B^{kl} cdot bigtriangledown u_{l}+ C^{kl} u_{l} - bigtriangledown cdot (D^{kl} u_{l}) } = f^{k} , k = 1 cdots n
這裡 $n$ 是變數的個數，$k$ 表示第幾條方程式
本論文將詳細說明程式架構與所使用的 hierarchical shape function

摘要(英)

In this paper, we design two-dimensional p-version finite element using triangular elements by C++. In design, we solve the following partial differential equations by using triangular elements
sum^{n}_{l=1} { - bigtriangledown cdot (A^{kl} bigtriangledown u_{l}) + B^{kl} cdot bigtriangledown u_{l}+ C^{kl} u_{l} - bigtriangledown cdot (D^{kl} u_{l}) } = f^{k} , k = 1 cdots n
where n is the number of variables, k stands for the number of equations, so we have n equations.
This paper will show the struct of program and hierarchical shape function.

關鍵字(中)

★ Hierarchical shape function
★ Jacobi Polynomials
★ weak formulation
★ 有限元素法
★ p-version 有限元素法

關鍵字(英)

★ finite element method
★ hierarchical shape function
★ Jacobi Polynomials
★ weak formulation
★ p-version finite element method

論文目次

中文摘要. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
英文摘要. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
目錄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
圖目錄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
1 背景知識. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 C++物件導向程式設計. . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 有限元素法基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 p-version有限元素法. . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Shape Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Shape function 基本概念與特性. . . . . . . . . . . 7
2.2 Hierarchical Shape Function for Triangle . . . . . 7
2.2.1 Jacobi polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Hierarchical shape function for triangle. . . . . 8
3 程式的類別架構與運作流程. . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1 類別架構. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1 Mesh 類別. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.2 Element 類別. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.3 FEM Solver 類別. . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.4 Boudnary Condition 類別. . . . . . . . . . . . . 25
3.1.5 Coe 類別. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.6 Algorithm 類別. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.7 Shape Function 2D 類別. . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 程式的運作流程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 程式測試. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1 Linear mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 單變數問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.2 單變數問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Quadratic mesh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.1 單變數問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.2 多變數問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 範例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1 Time independent Stokes equation. . . . . . . . . . 43
5.2 Time independent Navier-Stokes equation . . . . . . 45
6 結論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
參考文獻. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

參考文獻

[1]Linda M. Northrop, 物件導向的軟體發展,
http://tropic.iis.sinica.edu.tw/sofeeng/sofeeng_8.htm
[2]W.H. Wu, An object-oriented design of multiregion, structured / unstructured grid generation in C++ ,
Department of Mathematics, National Central University, Taiwan, library note
[3]子由　著，深度學習C++(第二版) 博碩發行，2006
[4]Bjarne Stroustrup 著，葉秉哲譯，C++程式語言經典本(The C++ Programing Language, 3rd ed.) 儒林發行，1999
[5]David Vandevoorde & Nicolai M. Josuttis 著, 侯捷, 榮耀 & 姜宏譯, C++ Templates全覽(C++ templates : the complete guide), 碁峰, 2004
[6]Matthew H. Austern 著, 黃俊堯 & 侯捷譯, 泛型程式設計與STL(Generic programming and the STL), 碁峰, 2001
[7]Eric B. Becker, Graham F. Carey, & J. Tinsley Oden, FINITE ELEMENTS An Introduction, Prentice-Hall, USA, 1981
[8]Barna Szabo and Ivo Babuska, Finite Element Analysis , A Wiley-Interscience Publication, New York, 1991
[9]http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_polynomials
[10]J.P. Webb , R. Abouchacra , Hierarchical triangular elements using orthogonal polynomials , International Journal of Numerical Methods in Engineering , Vol. 38 , 245-257 , 1995
[11]徐玉榮，在二維空間上使用矩形元素的p-version有限元素法程式設計，中央大學數學系碩士論文，2008

指導教授

吳維漢(Wei-Han Wu)

審核日期

2008-6-27

推文