| 摘要: | 論文摘要： 在1952年, Erdös 和Mirsky 提問是否存在無限多個正整數n, 使得d(n) = d(n +1), 其中d(n)的函數值為n 的正因數個數。在1984年, Heath-Brown證得對於n≦x, d(n) = d(n +1) 中n的解的量至少為x/(log x)7, 因此完整地回答了Erdös 和Mirsky 的提問。關於上述的問題, 解的上界和下界的量化估計, 經過多次的改進, 在1987年, 數學家們把估計推進至 ─── 在prime k-tuples conjecture的假設下, 解的量化估計正是 。除了d(n) = d(n +1) 這個問題之外, 關於其他arithmetic functions 的類似問題, 亦引起一些數學家的興趣, 並陸續得到一些結果。 此篇論文主要分成兩個部分, 第一個部分是從Heath-Brown [8,Lemma1], 我們觀察其他的arithmetic functions, 並得到一些類似的部分結果。第二個部分是我們把[5]中Theorem 2.1證明的兩個缺口（不詳盡之處）補上。 |
