透過代數幾何計算環面上平均場方程解的個數; Counting solutions of the mean field equations on tori via algebraic geometry

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Title:	透過代數幾何計算環面上平均場方程解的個數;Counting solutions of the mean field equations on tori via algebraic geometry
Authors:	林耿立;Keng-Li Lin
Contributors:	數學研究所
Keywords:	代數幾何;平均場方程;algebraic geometry;mean field equations
Date:	2010-06-15
Issue Date:	2010-12-08 14:25:53 (UTC+8)
Publisher:	國立中央大學
Abstract:	關於環面上的奇異平均場方程，在單一Dirac奇異點的係數為4π(2k+1)時林長壽教授與王金龍教授曾給出一個猜想：解的個數恰好等於其拓樸度數。吾等發現如此的非線性方程原來是代數可積的，並且此計數問題可化約至對某一個仿射多項式系統計算。我们提出兩個都基於代數幾何的方法來證明此一猜想。第一個方法是基於射影的Bézout定理與殘餘相交理論，運用此一方法我们可以證實該猜想到k≦5的情形。射影化系統中多出之無窮遠解的結構牽涉到某種對稱的組合與精緻的多面體結構，這些結搆似乎與其他數學領域有關並值得進一步研究。第二個方法是對所有k在仿射方程組上的同倫法。這部分仍存在一些證明上的空白，所以吾等僅提及其想法與一些關鍵點。希望這將會在未來給出該猜想一個直接的證明。 It　is　conjectured　by　C.-S.　Lin　and　C.-L.　Wang. cite{LW2}　that　the　number　$N_k$　solutions　for　the 　singular　mean　field　equation　on　tori　(with　the 　coefficient　$4pi(2k + 1)$　of　the　delta　singularity )　should　be　equal　to its　topological　degree　$k+1$ 　for　each　$k　in　mathbb{N}$　cite{LW2}.　We 　verifies　the　case　of　$k　=　4$　and　$5$　via intersection　theory.　In　these　cases,　it　shows　that 　the　solution　toward　the　general　cases　involves 　some　symmetrically　combinatorial　and　delicately 　polyhedron　structures.
Appears in Collections:	[Graduate Institute of Mathematics] Electronic Thesis & Dissertation

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